Otra Pelicula Relacionada Con Las Matematicas !!!

Matt Damon encarna el personaje de Will, este joven superdotado en el campo de las ciencias. Él es consciente de sus facultades extraordinarias pero como no es algo que le reporte esfuerzo alguno, no lo ve como algo meritorio de elogios.

Will ha leído todo tipo de libros desde su infancia, y es capaz de memorizar su contenido al mismo tiempo que se va formando culturalmente de modo siempre autodidacta.

Trabaja en los servicios de limpieza de una prestigiosa Universidad de matemáticas y un día resuelve un problema del que ningún alumno es capaz de dar respuesta. Su anonimato se romperá por un profesor de la Universidad, quien intentará que Will saque el máximo provecho de sus facultades; unas facultades con las que este maestro siempre soñó y que ahora no le permiten conciliar el sueño, porque ve como el muchacho no sabe valorarlas del mismo modo que él.

Hasta aquí la historia no presenta ningún atisbo dramático, pero es que todavía no hemos llegado al por fin oscarizado Robin Williams, que o nos hace reir o llorar. En este caso, le tocará representar un papel muy similar al de “El club de los poetas muertos”.

Will tiene unos amigos, que como él, proceden de los barrios bajos. Ellos están contentos con su situación y no hacen nada para mejorarla. Su filosofía de la vida consiste en realizar un trabajo sencillo, comer, pelearse en la calle y sobretodo, beber.

Como consecuencia de una de estas peleas en la que Will se ensaña brutalmente contra un joven, será juzgado y condenado y esta vez su elocuencia no le servirá para librarse del cumplimiento de la pena, y será el profesor que ha depositado toda su fe y su esperanza en este joven de espíritu rebelde e indomable, quien adquirirá su custodia mediante el pago de la fianza, a lo que el Juez accederá bajo la condición de que Will realice con regularidad visitas a un psiquiatra.

Robin Williams, es Sean, el psiquiatra al que debe acudir Will, para reconciliarse con su pasado: un pasado triste y desolador en el que hay que indagar para poder llegar a comprender la personalidad del muchacho.

Sólo uno de los amigos de Will (papel intepretado por Ben Affleck), intentará hacerle comprender que él no pertenece a ese tipo de vida; que debido a sus cualidades puede aspirar a algo con lo que todos sueñan y que estaría tirando por la borda un futuro más que prometedor si sigue al lado de ellos, ya que según este amigo, todos ellos están destinados al fracaso.

A todos estos personajes hay que sumar la presencia de “la chica de la película”: Minnie Driver, quien despertará en Will el sentimiento de estar enamorado por primera vez.

Will es sólo un muchacho asustado que de repente se ve sometido a varias presiones exteriores:

  • la del profesor que le atosiga para que acceda a los mejores puestos del mercado laboral, ante la esperanza de que llegue a convertirse en un genio capaz de ayudar a la humanidad con su potente intelecto para crear nuevas fórmulas o desvirtuar teorías de reconocidos científicos que hasta ahora nos servían como método de estudio;
  • la de la chica, que pretende establecer con él una relación de compromiso al poco tiempo de conocerse, provocándole una sensación de inseguridad y miedo a la que deberá hacer frente si pretende seguir con ella;
  • la de Sean, que le enfrentará con su pasado, un pasado que le convirtió en una víctima de los malos tratos y del que no logra desprenderse. Esos recuerdos que Will guarda en su interior, le impiden el abrir su corazón a las personas, porque él de pequeño aprendió que las personas eran malvadas, y no se da oportunidad a sí mismo de demostrarse que donde menos se lo espera, puede encontrarse con un verdadero amigo, capaz de orientarle y ayudarle, de hacerle sonreir y llorar, pero sobretodo de hacerle entender que no puede seguir viviendo encerrado en su mundo de ficción, que debe demostrarse a sí mismo lo fuerte que puede llegar a ser, que debe tomar las decisiones que más le convengan, porque antes que un genio, es una persona, con unos sentimientos a los que debe prestar atención; y sobretodo nunca rendirse si realmente estás enamorado de alguien.
    Todo esto lo aprenderá de este entrañable
    psquiatra traumatizado por la muerte de su esposa, que al mismo tiempo que intenta descubrir la personalidad de Will, nos irá mostrando los secretos más ocultos de su gran corazón.

Esta película, soprende por los diálogos, por su originalidad, por la correcta interpretación de los actores. En ella hay escenas realmente emocionantes, carentes de acción, pero con unos buenos diálogos.

Quizá el mejor momento de la película es aquel en el que Sean y Will se sientan en un banco a contemplar el lago, cuando en realidad lo que están contemplando es lo que ambos esconden en su interior.

Lo único que no me resulta acorde al resto de la película es el final de la historia, que nos lleva de nuevo a un final típico del cine americano, ese final al que siempre nos conducen cuando no saben como finalizar una historia, y ésta era una buena historia.

http://www.labutaca.net/films/colabora/elindoma.htm

http://www.youtube.com/watch?v=V3qomma7TKc

Trailer de la Pelicula

Para Ver la Pelicula Online solo tiene que hacer click Aqui

Categorías:Uncategorized

Algoritmo de Euclides

Un Video Muy Util Acerca Sobre El Algotritmo de Euclides,  explicado paso a paso.

Categorías:Uncategorized

Teoria Elemental de Los Numeros.

NUMEROS ENTEROS
La Teoría de Números es la parte de la Matemática que trata de los números enteros y sus propiedades. Estudia la
divisibilidad y la congruencia de números enteros, los números primos y su distribución, las operaciones algebraicas
entre ellos y las soluciones enteras de ecuaciones diofánticas. Se designará a los conjuntos de números naturales y
enteros por N y Z respectivamente.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
Z = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
El número 0 no es un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos se designa por N U {0}. Uno
de los principios más importantes en la Teoría de Números es:
· Principio de la buena ordenación: todo subconjunto no vacío de números enteros no negativos tiene un primer
elemento, es decir, tiene un elemento que es menor que todos los demás.
Operaciones con números enteros
Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma (a + b) y producto (a · b), es fácil definir las
siguientes operaciones:
· Diferencia (d = a – b): otro entero que satisfaga la igualdad a = b + d.
· Divide a (a | b): si a # 0 y b = a · q, diremos que a divide a b, a es un divisor de b, a es un factor de b, o que b
es un múltiplo de a.
· Mayor que (b > a): si existe un número natural n tal que b = a + n.
Propiedades de los números enteros
Sean a, b, c, x e y números enteros:
· a · 0 = 0
· a · (-b) = -a · b
· Si a # 0 y a · b = a · b, entonces b = c
· Si a # 0 y a | b, entonces a | b · x
· Sean a # 0 y b # 0, si a | b y b | c, entonces a | c
· Sea a # 0, si a | b y a | c, entonces a | (b · x + c · y)
· Sean a y b positivos, si a | b, entonces a <= b
· Sean a # 0 y b # 0, si a | b y b | a, entonces a = b o a = -b
Valor absoluto
Llamaremos valor absoluto a la aplicación | | : Z -> Z, tal que todo número entero tiene imagen mediante | | y esta
imagen es única. Queda definida por:
· Si n >= 0, entonces | n | = n
· Si n < 0, entonces | n | = -n

Propiedades del valor absoluto

· | n | pertenece a N U {0}
· | n | = 0 si y sólo si n = 0
· | a · b | = | a | · | b |
· | a + b | <= | a | + | b |
· Si a # 0, b # 0 y a | b, entonces | a | <= | b |
Algoritmo de la División
Sean a entero y b natural. Entonces existen números enteros q y r tales que:
a = b · q + r
con 0 <= r < | b |. Además q y r son únicos. A los números a, b, q y r se les llama respectivamente dividendo,
divisor, cociente y resto.
Módulo
Sean a y b números enteros con b # 0. Sea a = b · q + r donde 0 <= r < | b |. Definimos el operador módulo
(MOD) por:
a MOD b = r
Propiedades del operador MOD
Sean a, b, c, d y m números enteros con m # 0. Si a MOD m = c MOD m y b MOD m = d MOD m,
entonces:
· (a + b) MOD m = (c + d) MOD m
· (a · b) MOD m = (c · d) MOD m
Máximo común divisor
Sean a y b enteros. Un entero d # 0 es un divisor común de a y b si d | a y d | b. Un divisor común de a y b se llama
máximo común divisor de a y b si d > 0 y cada común divisor de a y b divide también a d. Se designa por:
m.c.d.(a, b) = d
Algoritmo de Euclides
El Algoritmo de Euclides se basa en sucesivas divisiones de dos números hasta obtener su máximo común divisor. Es
decir, si m.c.d.(a, b) = d y a = b · q + r, entonces tendremos:
d = rn-1 = m.c.d.(rn-2, rn-1) = m.c.d.(rn-3, rn-2) = … = m.c.d.(b, r1) = m.c.d.(a, b)
Si hacemos la divisiones sucesivas partiendo del Algoritmo de la División original:
· a = b · q1 + r1
· b = r1 · q2 + r2
· r1 = r2 · q3 + r3
· …
· rn-4 = rn-3 · qn-2 + rn-2

· rn-3 = rn-2 · qn-1 + rn-1
· rn-2 = rn-1 · qn + 0
Cálculo del máximo común divisor de dos números mediante el Algoritmo de Euclides de la división
Se procede con la división de tal forma que cumpla a = b · q + r donde q = a DIV b y r = a MOD b. A
continuación, si el resto es distinto de cero, se toma en la siguiente división: a = b y b = r, es decir, el divisor y el
resto de la división anterior. Cuando se llegue a una expresión con el resto igual a cero, el término b será el máximo
común divisor.
· m.c.d.(1312, 800) = d
· 1312 = 800 . 1 + 512
· 800 = 512 . 1 + 288
· 512 = 288 . 1 + 224
· 288 = 224 . 1 + 64
· 224 = 64 . 3 + 32
· 64 = 32 . 2 + 0
· d = 32

NUMEROS PRIMOS

Dado un número entero p > 1, diremos que p es un número primo si 1 y p son los únicos divisores positivos de p. Un
entero a > 1 que no es primo le denominaremos número compuesto. Dos números, a y b, son primos entre sí, si se
tiene que m.c.d.(a, b) = 1.
Lema de Euclides
Sean a, b y c números enteros. Supongamos que a y c son primos entre sí y que c | a · b. Entonces c | b.
Teorema Fundamental de la Aritmética
Sea n un número mayor que 1. Entonces existen números primos p1, … , pr tales que:
n = p1 · p2 · … · pr
donde p1 <= p2 <= … <= pr.
Teoremas
· Sea p un entero mayor que 1 y primo. Para cualquier a y b enteros, si p | a · b entonces p | a o p | b.
· El número de primos es infinito.
· Si pn es el n-ésimo número primo entonces pn <= 2^(2^n-1).
· Sea a un entero mayor que 1, entonces si para todo número primo p menor o igual que la raíz de a, p no divide al
número a, se verifica que a es primo.
Comprobar que un número es primo utilizando la criba de Erastóstenes
La criba de Erastóstenes dice que un número es primo si no es divisible por otro primo menor que la raíz cuadrada
entera del primero. Primero se desarrolla la criba y a continuación se divide el número por cada uno de los primos
contenidos en la criba.

· n = 811
· p < Raíz( 811 ) = 29
· Criba: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 = i
· División: 29 MOD i # 0
· 811 sí es primo
Mínimo común múltiplo
Sean a y b dos números enteros. Llamaremos mínimo común múltiplo de a y b al menor entero positivo que sea
múltiplo de ambos. Lo designaremos por m.c.m.(a, b).
· Sean a y b enteros no nulos, entonces | a · b | = [ m.c.d.(a, b) ] · [ m.c.m.(a, b) ]
EL PRINCIPIO DE INDUCCION
En las Matemáticas aparecen muchos problemas que tienen la siguiente forma general:
· Sea P(n) una determinada propiedad acerca de un número natural n.
· Se trata de probar que P(n) es verdadero para todo n que sea natural.
Teorema del Principio de Inducción
Sea S un conjunto de números naturales que satisface las dos condiciones siguientes:
· El número 1 pertenece a S.
· Para cada número k >= 1, si k pertenece a S entonces k + 1 también pertenece a S.
Entonces el conjunto S es igual a N.
Pasos a seguir
· Definir el conjunto S = { n pertenecientes a N tales que P(n) es verdadera }.
· Probar que 1 pertenece a S.
· Suponer que k pertenece a S para k >= 1 arbitrario.
· Demostrar entonces que k + 1 pertenece a S.
Principio Fuerte de Inducción
Sea S un conjunto de enteros positivos tales que:
· 1 pertenece a S.
· Para cada entero n > 1, si k pertenece a S para todo entero k tal que 1 <= k < n entonces n pertenece a S.
Entonces S = N.
Demostrar una propiedad por el Principio de Inducción
Sea S el conjunto de los valores. Según dicho principio, la propiedad se debe cumplir para el elemento 1 y para
cualquier elemento k + 1 dado un k. Se presentan dos expresiones separadas con el signo igual, donde se les
añade un término k + 1 a ambas y se resuelve por la segunda expresión.

Para todo n natural:
· 1^2 + 2^2 + … + n^2 = n · (n + 1) · (2n + 1) / 6
Primera propiedad: P(1) pertenece a S
· 1^2 = 1 · (1 + 1) · (2 · 1 + 1) / 6 = 1 · 2 · 3 /6 = 6 / 6 = 1
Segunda propiedad: P(k) y P(k + 1) pertenecen a S
· 1^2 + 2^2 + … + k^2 + (k + 1)^2 = k · (k + 1) · (2k + 1) / 6 + (k + 1)^2 = k · (k + 1) · (2k + 1) +
6 · (k + 1)^2 / 6 = (k + 1) · (2k^2 + k + 6k + 6) / 6 = (k + 1) · (k + 2) · (2k + 3) / 6
Por lo tanto, se cumple la propiedad para todo natural
ECUACIONES DIOFANTICAS

Ecuaciones lineales de dos variables enteras
Sean a, b y n números enteros. La ecuación lineal a · x + b · y = n tiene solución entera x0 e y0 si y sólo si d =
m.c.d.(a, b) divide a n.
· Dada la ecuación a · x + b · y = n se calcula el m.c.d.(a, b) llegando a escribir d = a · q1 + b · q2 (a = b ·
q1 + r1 y b = r1 · q2 + r2), siendo una solución x0 = n · q1 / d e y0 = n · q2 / d.
· Supongamos que a, b y n son enteros no nulos y d = m.c.d.(a, b) divide a n. Entonces la solución general de la
ecuación a · x + b · y = n tiene la forma: {x0 + t · b / d , y0 – t · a / d} donde t es cualquier entero.
Calcular los valores de dos incógnitas para que se cumpla la expresión d = ax + by
Se calcula el máximo común divisor de los coeficientes por el Algoritmo de Euclides de la división y se sitúan los restos
desde el último hasta el primero que sean distintos de cero:
r = a – b · q
Se comienza desde la primera expresión y se sustituye b por su equivalente en la ecuación siguiente. A continuación
pasamos a la siguiente ecuación y sustituimos a, y así sucesivamente. Cuando se llegue al final debe quedar:
d = m.c.d.(a, b)= ax + by
· d = 322x + 406y
· m.c.d.(322, 406)
· 322 = 406 · 0 + 322
· 406 = 322 · 1 + 84
· 322 = 84 · 3 + 70
· 84 = 70 · 1 + 14
· 70 = 14 · 5 + 0
· 1º Resto: 14 = 84 – 1 · 70
· 2º Resto: 70 = 322 – 3 · 84
· 3º Resto: 84 =406 – 1 · 322
· 4º Resto: 322 = 322 – 0 · 406
· Se toma el 1º Resto: 14 =84 – 1 · 70
· Se sustituye 70: 14 = 84 – 1 · (322 – 3 · 84) = -322 + 4 · 84
· Se sustituye 84: 14 = -322 + 4 · (406 – 1 · 322) = -5 · 322 + 406 · 4
· Se sustituye 322: 14 = -5 · (322 – 0 · 406) + 4 · 406 = -5 · 322 + 4 · 406
· x = -5 || y = 4

Hallar todas las soluciones de ecuaciones diofánticas del tipo ax + by = n
Primero se calcula el máximo común divisor de a y b, al que se le llamará d. Después se comprueba que d divide a n,
para saber si la ecuación tiene solución. Si es así, existen a’ y b’ tales que:
d = a’ · a + b’ · b
A continuación se averiguan a’ y b’ tomando la primera ecuación de los restos obtenidos del máximo común divisor de
a y b, y sustituyendo los b y los a:
r = a – b · q
Una solución de la ecuación sería:
x0 = n · a’ / d
y0 = n · b’ / d
Y la solución general del sistema sería:
{x0 + b · t / d , y0 – a · t / d}
para todo t que sea entero.
· 28x + 36y = 44
· 28 = 36 · 0 + 28 => 3º Resto: 28 = 28 – 0 · 36
· 36 = 28 · 1 + 8 => 2º Resto: 8 = 36 – 1 · 28
· 28 = 8 · 3 + 4 => 1º Resto: 4 = 28 – 3 · 8
· 8 = 4 · 2 + 0 => Ultima división
· m.c.d.(28, 36) = 4
· Como 4 divide a 44 (44 / 4 = 11), la ecuación tiene solución
· 28a’ + 36b’ = 4
· Se toma el 1º Resto: 4 = 28 – 3 · 8
· Se sustituye 8: 4 = 28 – 3 · (36 – 1 · 28) = 4 · 28 + (-3) · 36
· Se sustituye 28: 4 = 4 · (28 – 0 · 36) + (-3) · 36 = 4 · 28 + (-3) · 36
· a’ = 4 | b’ = -3
· Una solución sería: x0 = 44 · 4 / 4 = 44 , y0 = 44 · (-3) / 4 = -33
· Y la solución general: {44 + 36t/4, -33 – 28t/4 } = { 44 + 9t, -33 – 7t}
Ecuaciones cuadráticas
La ecuación diofántica x^2 – y^2 = n con n > 0, tiene solución si y sólo si n se puede factorizar como producto de
dos números de la misma paridad, es decir, ambos pares o ambos impares. Si existen, las soluciones de esta ecuación
tienen la forma:
x = a + b / 2 || y = a – b / 2
donde x + y = a y x – y = b.
Hallar todas las soluciones de ecuaciones de la forma x^2 – y^2 = n
La ecuación tiene solución si n se puede factorizar como producto de dos números de la misma paridad. Las soluciones tendrán la forma:
x = a + b / 2
y = a – b / 2
donde n = a · b , a = x + y y b = x – y. Primero se averiguan todos los factores primos y se divide el número entre
cada uno de ellos. Se toman aquellas parejas con la misma paridad. Se aplican las fórmulas anteriores y se obtienen
todas las soluciones, para a >= b.
· x^2 – y^2 = 120
· 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 2^3 · 3 · 5
· 120 = 60 · 2 = 30 · 4 = 20 · 6 = 12 · 10
· Se toman todas las parejas en las que a >= b
a b x = a + b / 2 y = a – b / 2
======================
60 2 31 29
30 4 17 13
20 6 13 7
12 10 11 1
Las soluciones serán: { 31, 29 } , { 17, 13 } , { 13, 7 } y { 11, 1 }.
Algoritmo de factorización de Fermat

· Determinar el mínimo entero positivo q que satisfaga que q^2 >= n.
· Estudiar si alguno de los números q^2 – n, (q + 1)^2 – n, (q + 2)^2 – n, … es un cuadrado.
· Si para alguno de estos números m, m^2 – n es un cuadrado, entonces n será primo.
Estudiar si un número es compuesto mediante el Algoritmo de factorización de Fermat
Un número es compuesto si es producto de dos números impares. Primero se hace la raíz cuadrada entera y se toma el
valor entero mayor q y un intervalo:
[q^2 … n + 1 / 2)
Después se van haciendo operaciones q^2 – n y se va incrementando q hasta obtener un número cuadrado. Entonces
se sustituyen el q resultante y el número cuadrado en x^2 e y^2:
x^2 = q || y^2 = número cuadrado || n = x^2 – y^2
Y a continuación, se despejan a y b:
a = x + y || b = x – y || n = a · b
· n = 22733
· q >= Raíz( 22733 ) = 151
· El intervalo será: [151^2…22733 + 1 / 2) = [151^2…11367) = 151 <= q < 11367
· 151^2 – 22733 = 22801 – 22733 = 68 no es cuadrado
· 152^2 – 22733 = 23104 – 22733 = 371 no es cuadrado
· 153^2 – 22733 = 23409 – 22733 = 676 = 26^2 sí es cuadrado
· x = 153 || y = 26

· a = 153 + 26 = 179
· b = 153 – 26 = 127
· 22733 = 179 · 127 sí es compuesto
Ecuaciones pitagóricas

Las soluciones de la ecuación pitagórica x^2 + y^2 = z^2 que satisfacen las condiciones m.c.d.(x, y, z) = 1, 2 | x
y x, y, z > 0, vienen dadas por las fórmulas x = 2 · s · t, y = s^2 – t^2, z = s^2 + t^2, para naturales s, t con s > t
tales que m.c.d.(s, t) = 1, y s y t tienen distinta paridad.
CONGRUENCIAS

Sea m > 0. Dados a y b enteros se dice que a y b son congruentes módulo m si a – b es divisible por m.
Simbólicamente esta relación se escribe:
a == b mód (m) si y sólo si m | (a – b)
Fijado m > 0, cada número entero a es congruente con uno de los enteros 0, 1, 2, … , m – 1. Entonces a == r mód
(m), el número r se denomina menor resíduo no negativo de a módulo m, que no es otra cosa que a MOD m = r.
Teoremas
Sean a, b, c, d, h y m enteros con h # 0 y m > 0 entonces:
· a == b mód (m) si y sólo si al dividir a y b por m el resto obtenido es el mismo
· a == a mód (m)
· Si a == b mód (m) entonces b == a mód (m)
· Si a == b mód (m) y b == c mód (m) entonces a == c mód (m)
· Si a == b mód (m) y c == d mód (m) entonces a + c == b + d mód (m) y a · c == b · d mód (m)
· Si a == b mód (m) entonces h · a == h · b mód (m)
· Si h | a, h | b, m.c.d.(h, m) = 1 y a == b mód (m) entonces a / h == b / h mód (m)
Ecuación de la forma ax == b mód (m)
La ecuación ax == b mód (m) tiene solución si y sólo si d divide a b donde d es el m.c.d.(a, m). Además el
número de soluciones no congruentes módulo m es exactamente d.
Resolver una congruencia del tipo ax == b mód (m)
Una congruencia ax == b mód (m) es equivalente a una ecuación diofántica ax + mk = b. Se calcula el máximo
común divisor de a y m, se le llama d y se comprueba que d divida a b. Por el Algoritmo de Euclides de la división se
halla a’ en:
a’ = b – m / a
y se sustituye en:
x0 = n · a’ / d
x = x0 – a · t / d
Si x0 es negativo se halla una solución t hasta que x sea positivo.

· 2x == 6 mód (10)
· Ecuación diofántica: 2x + 10k = 6
· m.c.d.(2, 10) = 2
· Se comprueba que 2 divide a 6
· a’ = 6 – 10 /2 = -4
· x0 = 6 · (-4) / 2 = -12
· x = -12 – 10t / 2 = -12 – 5t
· Una solución positiva es t = -3: x = -12 – 5 · (-3) = -12 + 15 = 3
· La solución general es: x = 3 + 5k
Teorema chino del resto

El sistema de congruencias aix == bi mód (mi), i = 1, 2, …, k donde m.c.d.(mi, mj) = 1 si i # j y m.c.d.(ai,
mi) = 1 para 1 <= i <= k, tiene una única solución x0 módulo m1m2…mk y las demás soluciones son de la forma x
= x0 + zm1m2…mk, donde z es un entero.
Resolver un sistema de congruencias y presentar la ecuación general
Se comprueba que los módulos sean primos, es decir, que el máximo común divisor entre ellos sea uno. Si se cumple,
la ecuación tendrá la forma:
ax = bi mód (mi)
donde las soluciones xi serán igual a bi. Se hace el producto de los módulos y se divide entre cada uno de ellos:
producto de mi = m, donde ti = m / mi
Tendremos un nuevo sistema de ecuaciones con la forma general:
tiyi = 1 mód (mi)
Se averiguan las respectivas yi y se procede a averiguar el valor buscado:
x0 = suma de i [ 1 ... n ] en xi · ti · yi
La ecuación general será:
x = x0 + mk
· x = 2 mód (5)
· 2x = 1 mód (7)
· 3x = 4 mód (11)
· m.c.d.(5, 7) = 1 || m.c.d.(7, 11) = 1 || m.c.d.(5, 11) = 1
· x1 = 2 || x2 = 1 || x3 = 4 || m = 5 · 7 · 11 = 385
77y1 = 1 mód (5) 55y2 = 1 mód (7) 35y3 = 1 mód (11)
-75y1 = 0 mód (5) -49y2 = 0 mód (7) -33y3 = 0 mód (11)
======================================
2y1 = 1 mód (5) 6y2 = 1 mód (7) 2y3 = 1 mód (11)
y1 = 3 || y2 = 6 || y3 = 6

El valor buscado es: x0 = 2 · 77 · 3 + 1 · 55 · 6 + 4 · 35 · 6 = 462 + 330 + 840 = 1632
La ecuación general será: x = 1632 + 385k
Pequeño Teorema de Fermat
Si p es un número primo que no divide al número a entonces a^p-1 == 1 mód (p).
Hallar el resto de dividir una potencia entre un número por el pequeño Teorema de Fermat
Se trata de hallar x en la siguiente expresión:
a^n = x mód (p)
Se comprueba que p sea primo y que no divida a la base de la potencia. Si se cumple, se aplica el teorema: a^p-1 = 1
mód (p). Se desglosa el exponente de la potencia como una división entre p – 1 y se toma el resto como r1.
Quedaría:
n = (p – 1) · q + r1 || a^n = a^(p-1) · q · a^r1
Se halla el resto de la base sin exponente y se aplica en la siguiente fórmula a r2:
a = y mód (p) || a^p-1 = y^p-1 mód (p) = r2 mód (p)
Por último, sabiendo que x = r1 + r2, se aplica:
a^n = x mód (p)
· x = 113^34291 MOD 7
· 113^34291 = x mód (7)
· Se comprueba que 7 es primo y no divide a 113
· Como (p – 1) = 6: 34291 = 6 · 5715 + 1
· 113^34291 = 113^6 . 5715 + 113^1
· 113 = 1 mód (7) || 113^6 = 1^6 mód (7) = 1 mód (7)
· 113^34291 = (1 + 1) mód (7) = 2 mód (7)
· x = 2
Teorema de Wilson

Si p es un número primo entonces (p – 1)! = -1 mód (p).
SISTEMAS DE NUMERACION

En la vida diaria el sistema de numeración empleado para escribir números naturales es el decimal. Las unidades se
agrupan de 10 en 10 para unidades de segundo orden, que se llaman decenas. Estas, a su vez, se agrupan de 10 en 10
para formar unidades de tercer orden o centenas y así sucesivamente. Sea b >= 2 un número natural (llamado base).
Entonces todo número natural n puede escribirse de manera única en base b de la forma:
n = ak · b^k + ak-1 · b^k-1 + … + a1 · b + a0
De ahora en adelante cuando tengamos un número en base b, escribimos simplemente:

n = ( ak ak-1 … a1 a0 ) · b
Cuando la base es mayor que 10, se necesitan nuevos símbolos. Usualmente se utilizan las letras del alfabeto. Así A =
10, B = 11, etc.
Criterio de divisibilidad por k

Un número n es divisible por k si y sólo si:
Suma de i [ 0 ... t ] en ai . ri = 0 mód (k)
siendo t el último dígito del número n.
Resolver una ecuación mediante un cambio de base y efectuar la suma con otro número de la misma base
Comprobar si la incógnita está en el número o en la base. Si está en el número, se convierte el número contrario en
decimal y se efectúa la división entre la base que sí se conoce. Si está en la base, se convierte el número contrario en
decimal y se desglosa el número contrario en una ecuación de grado igual al número de dígitos menos uno. Se
resuelve la ecuación y se toma el valor positivo. En general, para sumar dos números de la misma base, primero se
convierten a decimal, se suman y se vuelven a dividir por la base anterior.
· 124¬5 = x¬9 || 132¬x = 330¬5 || 124¬5 + 330¬5
· 124¬5 = 4 · 5^0 + 2 · 5^1 + 1 · 5^2 = 4 + 10 + 25 = 39¬10
· 39 = 9 · 4 + 3 || 4 = 9 · 0 + 4 || 4 · 9^1 + 3 · 9^0 = 43¬9 || x = 43
· 330¬5 = 0 · 5^0 + 3 · 5^1 + 3 · 5^2 = 0 + 15 + 75 = 90¬10
· 132¬x = 90¬10 || x^2 + 3x + 2 = 90 || x = 8 , x = -11 || 132¬8 =330¬5
· x = 8
· 124¬5 = 39¬10 || 330¬5 = 90¬10 || 39 + 90 = 129¬10
· 129 = 5 · 25 + 4 || 25 = 5 · 5 + 0 || 5 = 5 · 1 + 0 || 1 = 5 · 0 + 1
· 1 · 5^3 + 0 · 5^2 + 0 · 5^1 + 4 · 5^0 = 1004¬5 || 129¬10 = 1004¬5

Texto Tomado de : http://wainu.ii.uned.es:8081/WAINU/iti_gestion/primero/MaDi/apuntes/tema4a.pdf

Categorías:Uncategorized

Bibliografia Recomendada Para Las Matematicas Discretas.

Libros básicos de referencia

  • Rosen, K.: “Matemática Discreta y sus Aplicaciones”. 5ª Ed. McGraw-Hill. 2004.
  • Biggs, N. L. : “Matemática Discreta”. Vicens Vives. 1994

Libros de consulta

  • Abellanas,  M. y Lodares, D. : “Análisis de Algoritmos y Teoría de grafos”. Ed. Ra-ma. 1990.
  • Anderson, I. : “Introducción a la combinatoria”. Ed. Vicens Vives, 1993
  • Anderson, I. : “A First Course in Discrete Mathematics”. Ed. Springer, 2001.
  • Barnett, S. : “Discrete Mathematics”. Ed. Addison-Wesley, 1998.
  • COMAP : “Las matemáticas en la vida cotidiana “.Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid , 1998.
  • García Merayo, F. : “Matemática Discreta”. Ed. Paraninfo, 2001.
  • Goodaire,  E. y Parmenter, M. : “Discrete Mathematics with Graph Theory”. Ed. Prentice Hall. 1998.
  • Grimaldi, R. P. : “Matemática Discreta y combinatoria”. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. 1989.
  • Hernández, G. : “Grafos. Teoría y algoritmos”. Facultad de Informática. UPM. 2003.
  • Jonhsonbaugh, R. : “Matemáticas Discretas”. Ed. Prentice Hall,. 1999.
  • Matousek, J. y Nesetril, J.: “Invitación a la Matemática Discreta”. Editorial: Reverte 2008.

Libros de problemas

  • Bujalance, E. ; Bujalance, J.A. ; Costa,  A.F. y MartínezE. “Problemas de Matemática Discreta.”. Ed. Sanz y Torres, 1993.
  • García Merayo, F. ; Hernández,  G. y Nevot, A. : “Problemas resueltos de Matemática Discreta”. Ed. Thomson-Paraninfo, 2003
  • García, C. ; López, J. y Puigjaner, D. : “Matemática Discreta. Problemas y ejercicios resueltos”. Ed. Prentice Hall, 2002.
  • Lipschutz, S. : “Matemática Discreta. Teoría y 600 problemas resueltos”. Serie Schaum. Ed. Mc-Graw-Hill. 1990.

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matdiscreta/

Categorías:Uncategorized

Los Grafos y Las Redes Sociales.

A ustedes no les ha dado curiosidad esto ?

Lo Vemos Todos los dias cuando nos conectamos al Facebook, pero nosotros jamas caemos en cuenta que ese loguito tiene mucha relacion con el area que nosotros manejamos, y vaya que si lo tiene, entonces retrocedamos un poco y volvamos a retomar acerca de lo que significa un Grafo.

Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Cada arista es una línea o arco que unen dos vértices del grafo o un vértice a si mismo.

Ahora muchos se preguntaran, que relacion hay entre una cosa y la otra ? , para alla vamos, entonces.

Para Comenzar se tiene:

  • La presencia, la gente que participa en un determinado evento.
  • La identidad o filiación de los participantes.
  • La interacción entre los participantes.

    La comunicación que tiene lugar entre ellos.

Tratandose de Una Red Social nos enfocaremos mas en el sentido en el cual la interaccion entre participantes es ideal dado a:

  • Todos pertenecemos a una o más de ellas.
  • Las redes sociales son los vehículos de la influencia y el poder en las organizaciones.
  • Las propiedades inherentes a las redes determinan sus posibilidades. (Hay cosas que se pueden hacer en una red y otras que no)
  • El advenimiento de Internet, la red por excelencia, ha propiciado la aparición de miles de redes, con muchos miembros cada una.

existe una teoría matemática, la teoría de grafos, que permite estudiar el comportamiento de las redes y conocer sus propiedades.

Un ejemplo de dicha teoria con grafos.

Relaciones de capital en Alemania en 1996

Como se pueden dar cuenta hay una interrelacion entre todos ellos, segun los tipos de industria que hayan, bien sean financieros o industriales.

<p id="Construir un grafo de una red social y visualizarlo puede ser un factor de decisión importante. En todas las redes hay nodos que acumulan enlaces mientras que otros apenas están ligados a los demás. Obviamente los nodos preponderantes, con más enlaces, son también los nodos más influyentes. No siempre es fácil ni, sobre todo, rápido detectarlos.

<p id="Para ello es necesario disponer de la información sobre

  • qué nodos existen
  • cómo están conectados entre si.

<p id="Con ello podemos construir el grafo, representarlo y estudiar los indicadores que nos permitan valorar la estructura de la red y conocer qué nodos tiene un papel decisivo y cuáles no.

Se Ha Citado Muchas Partes de : http://www.infovis.net/printMag.php?num=136&lang=1

Categorías:Uncategorized

El Cine Y Las Matematicas Discretas

Por Increible que Parezca si hay Cine Relacionado a Nuestra Area, y queremos hacer muestra de ello con este Film, que muestra increibles realidades sobretodo en los aspectos economicos de nuestra sociedad.

  1. Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza
  2. Todo puede representarse y entenderse con números
  3. Al graficar cualquier sistema surgen patrónes

Por lo tanto, hay patrones en toda la naturaleza.

En este sitio web, en donde se habla bastante del Cine y las Matematicas , se toma una opinion bastante interesante acerca de este tema:

Se trata de que el alumno razone sobre el papel que juegan la repetición de patrones en el establecimiento de modelos matemáticos y la relación con el concepto de un universo causal.

Y Como la Idea es que la Gente la Pueda ver para tomar sus propias decisiones aqui se la enviamos completica, solo es que haga Click Aqui para que la pueda ver completica


Categorías:Uncategorized

Algoritmos para Grafos.

Dado a la Complejidad de los Algoritmos hemos decidido Simplificarlo Mediante Videos, cortesia del Infaltable Youtube, la utilidad es Impresionante, ya que explica paso a paso la funcion del recorrido de los Grafos

Dikjstra

Prim

Bellman-Kabala

Floyd Parte 1

Floyd Parte 2

Fleury


Kruskal

Categorías:Uncategorized
Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.